Логарифмы простыми словами

Коротко: Логарифм отвечает на вопрос: «В какую степень нужно возвести основание, чтобы получить заданное значение?» Это обратная операция к возведению в степень.

Подробнее: log₂(8) = 3, потому что 2³ = 8. log₁₀(1000) = 3, потому что 10³ = 1000. Натуральный логарифм ln использует основанием число Эйлера e ≈ 2,718.

Подробности

• Правила: log(a · b) = log a + log b (умножение становится сложением), log(a / b) = log a − log b, log(aⁿ) = n · log a.
• Смена основания: log_b(x) = ln(x) / ln(b). На калькуляторе так можно вычислить любое основание.
• Чем полезен: Логарифм сжимает огромные диапазоны чисел. На логарифмических шкалах степени десяти отстоят одинаково далеко.
• Примеры в быту: Децибел (громкость), шкала Рихтера (землетрясения), pH (кислотность), яркость звёзд, оси времени на диаграммах.
• Информатика: Число бит для n значений равно log₂(n). Двоичному поиску нужно log₂(n) шагов (двоичный поиск), методам сортировки O(n log n) (O-нотация).
• Обратное экспоненциальному росту: Сколько времени до удвоения? ln(2)/ln(q) (экспоненциальный рост).
• Область определения: Определён только для положительных чисел. log(0) не существует.

См. также: SNR и децибелы