Logarithmen einfach erklärt

Kurz: Ein Logarithmus beantwortet die Frage: „Mit welcher Zahl muss ich eine Basis potenzieren, um einen bestimmten Wert zu erhalten?” Er ist die Umkehrung des Potenzierens.

Genauer: log₂(8) = 3, weil 2³ = 8. log₁₀(1000) = 3, weil 10³ = 1000. Der natürliche Logarithmus ln verwendet die Eulersche Zahl e ≈ 2,718 als Basis.

Im Detail

• Rechenregeln: log(a · b) = log a + log b (Multiplikation wird Addition), log(a / b) = log a − log b, log(aⁿ) = n · log a.
• Basiswechsel: log_b(x) = ln(x) / ln(b). Mit dem Taschenrechner kann man so jede Basis berechnen.
• Warum nützlich: Der Logarithmus verdichtet riesige Zahlenbereiche. Auf logarithmischen Skalen liegen Zehnerpotenzen gleich weit auseinander.
• Beispiele im Alltag: Dezibel (Lautstärke), Richterskala (Erdbeben), pH-Wert (Säuregrad), Sternhelligkeit, Zeitachsen in Diagrammen.
• Informatik: Die Zahl der Bits für n Werte ist log₂(n). Die Binärsuche braucht log₂(n) Schritte (Binärsuche), Sortierverfahren O(n log n) (O-Notation).
• Umkehrung des exponentiellen Wachstums: Wie lange dauert es, bis sich etwas verdoppelt? ln(2)/ln(q) (exponentielles Wachstum).
• Definitionsbereich: Nur für positive Zahlen definiert. log(0) existiert nicht.

Siehe auch: SNR und Dezibel