Fourier-Transformation

Kurz: Die Fourier-Transformation zerlegt ein Signal in die Schwingungen unterschiedlicher Frequenz, aus denen es sich zusammensetzt.

Genauer: Statt „Wie laut ist es zu jedem Zeitpunkt?” beantwortet sie „Wie stark ist jede Frequenz vertreten?”. Am Computer rechnet man mit der diskreten Variante (DFT), die der Algorithmus FFT in O(n log n) statt O(n²) berechnet.

Im Detail

• Idee: Jedes Signal lässt sich als Summe von Sinus- und Kosinuswellen darstellen.
• Ergebnis: Ein Spektrum aus Amplitude (Stärke) und Phase (Verschiebung) je Frequenz.
• Abtasttheorem: Um eine Frequenz f zu erfassen, muss man mindestens mit 2·f abtasten (Nyquist). Sonst entstehen Aliasing-Fehler.
• Einsatz: Equalizer und Spektrumanzeige in Audio-Programmen, Kompression (MP3, JPEG nutzen verwandte Transformationen), Rauschfilter, schnelle Multiplikation großer Zahlen, Funk und WLAN (OFDM).
• Grenze: Das Spektrum sagt nicht, wann eine Frequenz auftrat. Dafür gibt es die Kurzzeit-Fourier-Transformation (Spektrogramm).

Siehe auch: O-Notation