Квартилі та діаграма розмаху

Коротко: Квартилі ділять упорядковані дані на чотири рівні частини. Діаграма розмаху («скринька з вусами», boxplot) показує цей поділ графічно й дає змогу одразу побачити положення, розкид і викиди.

Докладніше: Нижній квартиль Q1 розташований так, що приблизно чверть значень лежить нижче нього, а верхній квартиль Q3 — так, що нижче лежать приблизно три чверті. Медіана — це середній квартиль Q2.

Подробиці

• Приклад даних: Візьмімо впорядковані значення 2, 4, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 12. Медіана — середнє значення, тобто 7.
• Знаходження квартилів: Поширений спосіб — узяти медіани нижньої та верхньої половин без загальної медіани. Нижня половина 2, 4, 4, 5 дає Q1 = 4, верхня половина 8, 9, 10, 12 дає Q3 = 9,5.
• Різні способи: У підручниках і програмах використовують дещо різні правила обчислення квартилів. Тому на малих наборах даних результати можуть трохи відрізнятися.
• Міжквартильний розмах: Розмах IQR = Q3 − Q1 охоплює середні 50 % даних, у прикладі 9,5 − 4 = 5,5. Він майже не реагує на крайні значення, тому є стійкою мірою розкиду.
• Будова діаграми: Скринька тягнеться від Q1 до Q3, лінія всередині скриньки позначає медіану. Лінії ліворуч і праворуч — «вуса» — сягають найкрайніших значень, які ще не вважаються викидами.
• Як розпізнати викиди: Часто викидами вважають значення, що відстоять від Q1 униз або від Q3 угору більш ніж на 1,5 IQR. У прикладі межі дорівнюють 4 − 8,25 = −4,25 і 9,5 + 8,25 = 17,75, тож викидів немає.
• Асиметрія: Якщо медіана розташована не посередині скриньки або один «вус» помітно довший, розподіл асиметричний.
• Порівняння груп: Кілька діаграм поруч добре підходять для порівняння, наприклад, доходів, вимірювань чи результатів іспитів різних груп.
• Зв’язок з іншими темами: Квартилі доповнюють медіану й стандартне відхилення та належать до основ читання діаграм (mittelwert-median-und-modus, standardabweichung-und-streuung, diagramme-lesen-und-verstehen).