Лінійні функції: як розуміти прямі

Коротко: Лінійна функція має вигляд y = m · x + b, а її графік — пряма лінія. Кутовий коефіцієнт m показує, наскільки зростає y, коли x збільшується на 1, а b — це значення y за x = 0.

Докладніше: Лінійні функції описують рівномірні зміни, наприклад витрати з фіксованої плати й сталої ціни за одиницю. Будь-яку пряму можна однозначно задати двома точками.

Подробиці

• Приклад із життя: Поїздка на таксі коштує 3 € за посадку й 2 € за кілометр. Тоді y = 2x + 3; за 10 км доведеться заплатити 2 · 10 + 3 = 23 €.
• Кутовий коефіцієнт: Коефіцієнт m показує, на скільки змінюється y, коли x збільшується на 1. Якщо m додатний, пряма зростає; якщо від’ємний — спадає; за m = 0 вона горизонтальна.
• Відрізок на осі y: b — точка, у якій пряма перетинає вісь y, у прикладі з таксі це плата за посадку 3 €.
• Коефіцієнт за двома точками: Для точок (1 | 5) і (3 | 9) маємо m = (9 − 5) / (3 − 1) = 2. Підставивши одну точку, отримуємо 5 = 2 · 1 + b, тобто b = 3.
• Нуль функції: Пряма перетинає вісь x там, де y = 0, тобто за x = −b / m. Для y = 2x + 3 це x = −1,5.
• Пропорційні функції: Якщо b = 0, пряма проходить через початок координат, і y пропорційний x. Тоді подвоєння x подвоює y.
• Взаємне розташування прямих: Прямі з однаковим кутовим коефіцієнтом паралельні. Якщо дві прямі перпендикулярні, добуток їхніх коефіцієнтів дорівнює −1.
• Точка перетину: Точку перетину двох прямих знаходять, прирівнявши їхні рівняння й розв’язавши відносно x. Приклад: 2x + 3 = −x + 9 дає x = 2 і y = 7.
• Зв’язок з іншими темами: Лінійні функції спираються на розв’язування рівнянь і помітно відрізняються від експоненційного зростання (gleichungen-loesen-grundlagen, exponentielles-wachstum, diagramme-lesen-und-verstehen).