Біноміальний розподіл: підрахунок успіхів у випадкових випробуваннях

Коротко: Біноміальний розподіл описує, наскільки ймовірно отримати рівно k успіхів у n однакових незалежних випробуваннях. Типові приклади — підкидання монети, серії кидків кубика чи контроль якості.

Докладніше: Якщо кожне випробування має лише два результати — успіх (імовірність p) або невдачу (1 − p), — то P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1 − p)^(n − k). Біноміальний коефіцієнт C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!) показує, скількома способами k успіхів можуть розподілитися по n випробуваннях.

Подробиці

• Умови: Кількість випробувань n задана заздалегідь, кожне випробування має рівно два результати, імовірність успіху p не змінюється, і випробування не впливають одне на одне. Одне таке випробування називають випробуванням Бернуллі.
• Приклад із монетою: За трьох підкидань чесної монети ймовірність рівно двох «гербів» дорівнює C(3, 2) · 0,5² · 0,5 = 3 · 0,125 = 0,375, тобто 37,5 %.
• Приклад із кубиком: Імовірність викинути принаймні одну шістку за чотири кидки рахують через протилежну подію: 1 − (5/6)^4 ≈ 1 − 0,482 = 0,518, тобто трохи більше 50 %.
• Математичне сподівання: У середньому очікують E(X) = n · p успіхів. За 60 кидків, отже, очікують близько 60 · 1/6 = 10 шісток.
• Розкид: Дисперсія дорівнює n · p · (1 − p), а стандартне відхилення — кореню з неї. За 60 кидків це приблизно корінь із 8,33, тобто близько 2,9 шістки.
• Форма розподілу: За p = 0,5 розподіл симетричний. За малого p він скошений праворуч, бо найчастіше трапляється мала кількість успіхів.
• Без повернення: Якщо виймати з невеликої множини без повернення, p змінюється від виймання до виймання. Тоді краще підходить гіпергеометричний розподіл.
• Наближення: За великих n біноміальний розподіл дедалі більше схожий на дзвоноподібну криву. За емпіричним правилом наближення нормальним розподілом вважають прийнятним, якщо n · p · (1 − p) більше за 9.
• Зв’язок з іншими темами: Біноміальний розподіл поєднує комбінаторику з теорією ймовірностей і веде до нормального розподілу (kombinatorik-grundlagen, wahrscheinlichkeitsrechnung-grundlagen, normalverteilung).