Binom dağılımı: rastgele denemelerde başarıları saymak

Kısaca: Binom dağılımı, n tane özdeş ve bağımsız denemede tam olarak k başarı elde etmenin ne kadar olası olduğunu açıklar. Tipik örnekler yazı tura atışları, zar atma serileri veya kalite kontrolleridir.

Biraz daha ayrıntılı: Her denemenin yalnızca başarı (olasılık p) veya başarısızlık (1 − p) sonucu varsa P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1 − p)^(n − k) geçerlidir. Binom katsayısı C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!), k başarının n denemeye kaç farklı şekilde dağılabileceğini sayar.

Ayrıntılı

• Koşullar: Deneme sayısı n sabittir, her denemenin tam olarak iki sonucu vardır, başarı olasılığı p aynı kalır ve denemeler birbirini etkilemez. Bu türden tek bir denemeye Bernoulli denemesi denir.
• Yazı tura örneği: Hilesiz bir parayla üç atışta tam iki kez tura gelme olasılığı C(3, 2) · 0,5² · 0,5 = 3 · 0,125 = 0,375, yani %37,5’tir.
• Zar örneği: Dört atışta en az bir kez altı gelme olasılığı tümleyen olay üzerinden hesaplanır: 1 − (5/6)^4 ≈ 1 − 0,482 = 0,518, yani %50’nin biraz üzeri.
• Beklenen değer: Ortalama olarak E(X) = n · p başarı beklenir. 60 atışta bu nedenle yaklaşık 60 · 1/6 = 10 kez altı beklenir.
• Yayılım: Varyans n · p · (1 − p) değerindedir, standart sapma ise bunun kareköküdür. 60 atışta bu yaklaşık 8,33’ün karekökü, yani aşağı yukarı 2,9 altıdır.
• Dağılımın biçimi: p = 0,5 iken dağılım simetriktir. p küçükken sağa çarpıktır, çünkü en sık görülen sonuç az sayıda başarıdır.
• Geri koymadan çekiliş: Küçük bir kümeden geri koymadan çekiliş yapılırsa p her çekilişte değişir. Bu durumda hipergeometrik dağılım daha uygundur.
• Yaklaşım: n büyüdükçe binom dağılımı giderek bir çan eğrisine benzer. Pratik bir kural olarak, n · p · (1 − p) 9’dan büyükse normal dağılımla yaklaşım kullanılabilir kabul edilir.
• Bağlam: Binom dağılımı kombinatoriği olasılık hesabıyla birleştirir ve normal dağılıma götürür (kombinatorik-grundlagen, wahrscheinlichkeitsrechnung-grundlagen, normalverteilung).