Квартили и диаграмма размаха

Коротко: Квартили делят упорядоченные данные на четыре равные части. Диаграмма размаха («ящик с усами», boxplot) показывает это деление графически и позволяет сразу увидеть положение, разброс и выбросы.

Подробнее: Нижний квартиль Q1 расположен так, что примерно четверть значений лежит ниже него, а верхний квартиль Q3 — так, что ниже лежат примерно три четверти. Медиана — это средний квартиль Q2.

Подробности

• Пример данных: Возьмём упорядоченные значения 2, 4, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 12. Медиана — среднее значение, то есть 7.
• Нахождение квартилей: Распространённый способ — взять медианы нижней и верхней половин без общей медианы. Нижняя половина 2, 4, 4, 5 даёт Q1 = 4, верхняя половина 8, 9, 10, 12 даёт Q3 = 9,5.
• Разные способы: В учебниках и программах используются немного разные правила вычисления квартилей. Поэтому на малых наборах данных результаты могут слегка различаться.
• Межквартильный размах: Размах IQR = Q3 − Q1 охватывает средние 50 % данных, в примере 9,5 − 4 = 5,5. Он почти не реагирует на крайние значения и поэтому является устойчивой мерой разброса.
• Устройство диаграммы: Ящик тянется от Q1 до Q3, линия внутри ящика отмечает медиану. Линии слева и справа — «усы» — доходят до самых крайних значений, которые ещё не считаются выбросами.
• Как распознать выбросы: Часто выбросами считают значения, отстоящие от Q1 вниз или от Q3 вверх более чем на 1,5 IQR. В примере границы равны 4 − 8,25 = −4,25 и 9,5 + 8,25 = 17,75, так что выбросов нет.
• Асимметрия: Если медиана находится не в середине ящика или один «ус» заметно длиннее, распределение асимметрично.
• Сравнение групп: Несколько диаграмм рядом хорошо подходят для сравнения, например, доходов, измерений или результатов экзаменов разных групп.
• Связь с другими темами: Квартили дополняют медиану и стандартное отклонение и относятся к основам чтения диаграмм (mittelwert-median-und-modus, standardabweichung-und-streuung, diagramme-lesen-und-verstehen).