Линейные функции: как понимать прямые

Коротко: Линейная функция имеет вид y = m · x + b, а её график — прямая линия. Угловой коэффициент m показывает, насколько растёт y при увеличении x на 1, а b — это значение y при x = 0.

Подробнее: Линейные функции описывают равномерные изменения, например расходы из фиксированной платы и постоянной цены за единицу. Любую прямую можно однозначно задать двумя точками.

Подробности

• Пример из жизни: Поездка на такси стоит 3 € за посадку и 2 € за километр. Тогда y = 2x + 3; за 10 км придётся заплатить 2 · 10 + 3 = 23 €.
• Угловой коэффициент: Коэффициент m показывает, на сколько меняется y, когда x увеличивается на 1. Если m положителен, прямая возрастает; если отрицателен — убывает; при m = 0 она горизонтальна.
• Отрезок на оси y: b — точка, в которой прямая пересекает ось y, в примере с такси это плата за посадку 3 €.
• Коэффициент по двум точкам: Для точек (1 | 5) и (3 | 9) получаем m = (9 − 5) / (3 − 1) = 2. Подставив одну точку, получаем 5 = 2 · 1 + b, то есть b = 3.
• Нуль функции: Прямая пересекает ось x там, где y = 0, то есть при x = −b / m. Для y = 2x + 3 это x = −1,5.
• Пропорциональные функции: Если b = 0, прямая проходит через начало координат, и y пропорционален x. Тогда удвоение x удваивает y.
• Взаимное расположение прямых: Прямые с одинаковым угловым коэффициентом параллельны. Если две прямые перпендикулярны, произведение их коэффициентов равно −1.
• Точка пересечения: Точку пересечения двух прямых находят, приравнивая их уравнения и решая относительно x. Пример: 2x + 3 = −x + 9 даёт x = 2 и y = 7.
• Связь с другими темами: Линейные функции опираются на решение уравнений и заметно отличаются от экспоненциального роста (gleichungen-loesen-grundlagen, exponentielles-wachstum, diagramme-lesen-und-verstehen).