Биномиальное распределение: подсчёт успехов в случайных испытаниях

Коротко: Биномиальное распределение описывает, насколько вероятно получить ровно k успехов в n одинаковых независимых испытаниях. Типичные примеры — подбрасывание монеты, серии бросков кубика или контроль качества.

Подробнее: Если у каждого испытания только два исхода — успех (вероятность p) или неудача (1 − p), — то P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1 − p)^(n − k). Биномиальный коэффициент C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!) показывает, сколькими способами k успехов могут распределиться по n испытаниям.

Подробности

• Условия: Число испытаний n задано заранее, у каждого испытания ровно два исхода, вероятность успеха p не меняется, и испытания не влияют друг на друга. Одно такое испытание называется испытанием Бернулли.
• Пример с монетой: При трёх бросках честной монеты вероятность ровно двух «орлов» равна C(3, 2) · 0,5² · 0,5 = 3 · 0,125 = 0,375, то есть 37,5 %.
• Пример с кубиком: Вероятность выбросить хотя бы одну шестёрку за четыре броска считают через противоположное событие: 1 − (5/6)^4 ≈ 1 − 0,482 = 0,518, то есть чуть больше 50 %.
• Математическое ожидание: В среднем ожидается E(X) = n · p успехов. При 60 бросках поэтому ожидается около 60 · 1/6 = 10 шестёрок.
• Разброс: Дисперсия равна n · p · (1 − p), а стандартное отклонение — корню из неё. При 60 бросках это примерно корень из 8,33, то есть около 2,9 шестёрки.
• Форма распределения: При p = 0,5 распределение симметрично. При малом p оно скошено вправо, потому что чаще всего встречается малое число успехов.
• Без возвращения: Если извлекать из небольшого множества без возвращения, p меняется от извлечения к извлечению. Тогда лучше подходит гипергеометрическое распределение.
• Приближение: При больших n биномиальное распределение всё больше похоже на колоколообразную кривую. По эмпирическому правилу приближение нормальным распределением считается приемлемым, если n · p · (1 − p) больше 9.
• Связь с другими темами: Биномиальное распределение соединяет комбинаторику с теорией вероятностей и ведёт к нормальному распределению (kombinatorik-grundlagen, wahrscheinlichkeitsrechnung-grundlagen, normalverteilung).