Quartile und Boxplot

Kurz: Quartile teilen sortierte Daten in vier gleich große Teile. Ein Boxplot zeigt diese Einteilung als Grafik und macht Lage, Streuung und Ausreißer auf einen Blick sichtbar.

Genauer: Das untere Quartil Q1 liegt so, dass etwa ein Viertel der Werte darunter liegt, das obere Quartil Q3 so, dass etwa drei Viertel darunter liegen. Der Median ist das mittlere Quartil Q2.

Im Detail

• Beispieldaten: Gegeben sind die sortierten Werte 2, 4, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 12. Der Median ist der mittlere Wert, also 7.
• Quartile bestimmen: Eine verbreitete Methode nimmt den Median der unteren und der oberen Hälfte ohne den Gesamtmedian. Untere Hälfte 2, 4, 4, 5 ergibt Q1 = 4; obere Hälfte 8, 9, 10, 12 ergibt Q3 = 9,5.
• Unterschiedliche Verfahren: Bücher und Programme verwenden leicht verschiedene Rechenregeln für Quartile. Bei kleinen Datenmengen können die Ergebnisse deshalb etwas voneinander abweichen.
• Interquartilsabstand: Der Abstand IQR = Q3 − Q1 umfasst die mittleren 50 % der Daten, im Beispiel 9,5 − 4 = 5,5. Er reagiert kaum auf Extremwerte und ist deshalb ein robustes Streuungsmaß.
• Aufbau des Boxplots: Die Box reicht von Q1 bis Q3, ein Strich in der Box markiert den Median. Die Linien links und rechts, die Antennen oder Whisker, reichen bis zu den äußersten Werten, die noch nicht als Ausreißer gelten.
• Ausreißer erkennen: Häufig gelten Werte als Ausreißer, die mehr als das 1,5-Fache des IQR unterhalb von Q1 oder oberhalb von Q3 liegen. Im Beispiel liegen die Grenzen bei 4 − 8,25 = −4,25 und 9,5 + 8,25 = 17,75; einen Ausreißer gibt es also nicht.
• Schiefe ablesen: Liegt der Median nicht in der Mitte der Box oder ist ein Whisker deutlich länger, ist die Verteilung schief.
• Gruppen vergleichen: Mehrere Boxplots nebeneinander eignen sich gut, um etwa Einkommen, Messwerte oder Prüfungsergebnisse verschiedener Gruppen zu vergleichen.
• Zusammenhang: Quartile ergänzen Median und Standardabweichung und gehören zu den Grundlagen des Diagrammlesens (mittelwert-median-und-modus, standardabweichung-und-streuung, diagramme-lesen-und-verstehen).