Lineare Funktionen: Geraden verstehen

Kurz: Eine lineare Funktion hat die Form y = m · x + b, ihr Graph ist eine Gerade. Die Steigung m sagt, wie stark y wächst, wenn x um 1 zunimmt, und b ist der Wert von y bei x = 0.

Genauer: Lineare Funktionen beschreiben gleichmäßige Veränderungen, etwa Kosten mit Grundgebühr und festem Preis pro Einheit. Mit zwei Punkten lässt sich jede Gerade eindeutig bestimmen.

Im Detail

• Alltagsbeispiel: Eine Taxifahrt kostet 3 € Grundgebühr und 2 € pro Kilometer. Dann gilt y = 2x + 3; für 10 km zahlt man 2 · 10 + 3 = 23 €.
• Steigung: Die Steigung m gibt an, um wie viel sich y ändert, wenn x um 1 steigt. Ist m positiv, steigt die Gerade; ist m negativ, fällt sie; bei m = 0 verläuft sie waagerecht.
• y-Achsenabschnitt: b ist der Punkt, an dem die Gerade die y-Achse schneidet, im Taxibeispiel die Grundgebühr von 3 €.
• Steigung aus zwei Punkten: Für die Punkte (1 | 5) und (3 | 9) gilt m = (9 − 5) / (3 − 1) = 2. Setzt man einen Punkt ein, folgt 5 = 2 · 1 + b, also b = 3.
• Nullstelle: Die Gerade schneidet die x-Achse dort, wo y = 0 ist, also bei x = −b / m. Für y = 2x + 3 ist das x = −1,5.
• Proportionale Funktionen: Ist b = 0, geht die Gerade durch den Ursprung, und y ist proportional zu x. Doppeltes x bedeutet dann doppeltes y.
• Lage zweier Geraden: Geraden mit gleicher Steigung sind parallel. Stehen zwei Geraden senkrecht aufeinander, ist das Produkt ihrer Steigungen −1.
• Schnittpunkt: Den Schnittpunkt zweier Geraden findet man, indem man ihre Gleichungen gleichsetzt und nach x auflöst. Beispiel: 2x + 3 = −x + 9 ergibt x = 2 und y = 7.
• Zusammenhang: Lineare Funktionen bauen auf dem Lösen von Gleichungen auf und unterscheiden sich deutlich von exponentiellem Wachstum (gleichungen-loesen-grundlagen, exponentielles-wachstum, diagramme-lesen-und-verstehen).