Binomialverteilung: Treffer zählen bei Zufallsversuchen

Kurz: Die Binomialverteilung beschreibt, wie wahrscheinlich es ist, bei n gleichartigen, unabhängigen Versuchen genau k Treffer zu erzielen. Typische Beispiele sind Münzwürfe, Würfelserien oder Qualitätskontrollen.

Genauer: Hat jeder Versuch nur die Ausgänge Treffer (Wahrscheinlichkeit p) oder Niete (1 − p), gilt P(X = k) = (n über k) · p^k · (1 − p)^(n − k). Der Binomialkoeffizient (n über k) = n! / (k! · (n − k)!) zählt, auf wie viele Arten sich die k Treffer auf die n Versuche verteilen lassen.

Im Detail

• Voraussetzungen: Die Zahl der Versuche n steht fest, jeder Versuch hat genau zwei Ausgänge, die Trefferwahrscheinlichkeit p bleibt gleich und die Versuche beeinflussen sich nicht gegenseitig. Ein einzelner solcher Versuch heißt Bernoulli-Versuch.
• Beispiel Münze: Bei drei Würfen einer fairen Münze ist die Wahrscheinlichkeit für genau zweimal Kopf (3 über 2) · 0,5² · 0,5 = 3 · 0,125 = 0,375, also 37,5 %.
• Beispiel Würfel: Die Wahrscheinlichkeit, bei vier Würfen mindestens eine Sechs zu werfen, berechnet man über das Gegenereignis: 1 − (5/6)^4 ≈ 1 − 0,482 = 0,518, also gut 50 %.
• Erwartungswert: Im Mittel erwartet man E(X) = n · p Treffer. Bei 60 Würfen erwartet man also etwa 60 · 1/6 = 10 Sechsen.
• Streuung: Die Varianz beträgt n · p · (1 − p), die Standardabweichung ist ihre Wurzel. Bei 60 Würfen sind das etwa die Wurzel aus 8,33, also rund 2,9 Sechsen.
• Form der Verteilung: Bei p = 0,5 ist die Verteilung symmetrisch. Bei kleinem p ist sie nach rechts schief, weil wenige Treffer am häufigsten sind.
• Ohne Zurücklegen: Wird aus einer kleinen Menge ohne Zurücklegen gezogen, ändert sich p von Zug zu Zug. Dann passt die hypergeometrische Verteilung besser.
• Annäherung: Bei großem n ähnelt die Binomialverteilung immer mehr einer Glockenkurve. Als Faustregel gilt die Näherung durch die Normalverteilung als brauchbar, wenn n · p · (1 − p) größer als 9 ist.
• Zusammenhang: Die Binomialverteilung verbindet Kombinatorik mit Wahrscheinlichkeitsrechnung und führt zur Normalverteilung (kombinatorik-grundlagen, wahrscheinlichkeitsrechnung-grundlagen, normalverteilung).