Satz von Bayes: Wahrscheinlichkeiten richtig umdrehen

Kurz: Der Satz von Bayes verknüpft zwei bedingte Wahrscheinlichkeiten und erlaubt, aus „Wie wahrscheinlich ist das Testergebnis, wenn man krank ist?” auszurechnen „Wie wahrscheinlich ist man krank, wenn der Test positiv ist?”.

Genauer: Formel: P(A | B) = P(B | A) · P(A) / P(B). P(A) ist die Vorwissen-Wahrscheinlichkeit (Prior), P(A | B) die aktualisierte (Posterior).

Im Detail

• Klassisches Beispiel: Eine Krankheit betrifft 1 von 1.000 Personen. Ein Test erkennt Kranke zu 99 % und meldet bei 5 % der Gesunden fälschlich positiv. Von 1.000 Personen sind 1 krank (fast sicher positiv) und etwa 50 gesunde positiv. Nur etwa 2 % der positiv Getesteten sind wirklich krank.
• Lehre: Bei seltenen Ereignissen sind selbst gute Tests oft überwiegend falsch positiv. Die Basisrate (wie häufig ist die Sache überhaupt?) ist entscheidend und wird oft übersehen.
• Natürliche Häufigkeiten: Mit absoluten Zahlen („von 1.000 Personen …”) rechnet man leichter als mit Prozenten.
• Spamfilter: Ein Naive-Bayes-Filter schätzt aus Wörtern, wie wahrscheinlich eine Mail Spam ist.
• Bayessche Aktualisierung: Neue Evidenz verschiebt die Einschätzung schrittweise. Ist die Basisrate niedrig, braucht man starke Evidenz.
• Anwendungen: Medizinische Tests, Diagnosesysteme, Filter, Sensorfusion, Bayessche Optimierung (Hyperparameter-Suche).

Siehe auch: Wahrscheinlichkeitsrechnung