EMZETT.Logikgatter und Boolesche Algebra: Wie Computer entscheiden
Kurz: Computer rechnen mit Wahr und Falsch (1 und 0); Logikgatter wie UND, ODER und NICHT sind die Grundbausteine, aus denen Prozessoren aufgebaut sind.
Genauer: Die Boolesche Algebra (George Boole, 1847) beschreibt Verknüpfungen von Wahrheitswerten. In der Elektronik entsprechen sie Logikgattern: Schaltungen, die Spannungspegel (hoch = 1, niedrig = 0) verknüpfen. Aus Milliarden solcher Gatter besteht ein Prozessor.
Im Detail
Die Grundgatter und Wahrheitstabellen
| A | B | UND (AND) | ODER (OR) | XOR | NAND | NOR |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
- NICHT (NOT): invertiert (0↔1).
- UND: 1 nur, wenn beide 1 sind. ODER: 1, wenn mindestens einer 1 ist. XOR (exklusiv-oder): 1, wenn genau einer 1 ist.
- NAND und NOR sind universell: Aus ihnen lassen sich alle anderen Gatter bauen.
Rechenregeln
- Kommutativ: A ∧ B = B ∧ A. Assoziativ, distributiv: A ∧ (B ∨ C) = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C).
- De Morgan: ¬(A ∧ B) = ¬A ∨ ¬B und ¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B.
- Neutral/Null: A ∧ 1 = A, A ∨ 0 = A, A ∧ 0 = 0, A ∨ 1 = 1.
- Doppelte Verneinung: ¬¬A = A. Absorption: A ∨ (A ∧ B) = A. Mit diesen Regeln vereinfacht man Ausdrücke und Schaltungen; auch Karnaugh-Diagramme helfen.
Von Gattern zum Rechner
- Halbaddierer: Summe = A XOR B, Übertrag = A UND B.
- Volladdierer: addiert A, B und Übertrag; aneinandergereiht ergeben sie ein Addierwerk für mehrstellige Binärzahlen.
- Multiplexer (wählt eine von mehreren Leitungen), Decoder, Vergleicher.
- Flip-Flops (aus rückgekoppelten Gattern) speichern ein Bit; daraus entstehen Register und Speicher.
- Die ALU (Arithmetic Logic Unit) im Prozessor kombiniert solche Bausteine.
Anwendung in der Programmierung
Boolesche Algebra steckt in if-Bedingungen (and, or, not), in Bitoperationen (&, |, ^, ~), Suchfiltern, Datenbanken (WHERE) und Testfall-Tabellen. Vereinfache komplizierte Bedingungen mit De Morgan. In IHK-Aufgaben kommen oft Wahrheitstabellen und Schaltungen zeichnen/lesen vor. Übe mit einem Logiksimulator (Logisim, CircuitVerse im Browser).
Siehe auch: Bitmasken und Bit-Operationen, Binär, dezimal, hexadezimal, CPU-Aufbau, Vergleichsoperatoren